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以不变应万变 从无图变有图

整理:老师板报网   时间:2017-11-08   评论:    以不变应万变 从无图变有图

  摘 要:无图题往往需构造图形来辅助解决,而直接借助分类讨论思想构图是常用的方法之一,在这样的构图中,师生常处于“不知其所以然”的状态.教师应该通过激活学生思维上的连接点,以寻求构图的关键所在:找不变的图形和不变的数量关系.

  关键词:无图;不变;构图

  无图题常需构造图形来辅助解决,构图过程不仅能考查学生对文本的解读能力、空间想象能力,也是对用数学知识解决问题能力的综合考查.在实际操作中,学生往往不能把握构图的“七寸”,甚至处于“束手无策”的状态,教师也经常游离于问题解决的“核心”之外,只见树木不见森林.为此,笔者有意进行了探究和实践,现以课例形式和读者共飨.

  一、目标定位

  1.经历无图题中构图的一般过程,通过类比、分析,归纳构图的一般方法,发展学生几何直观、数学概括能力;

  2.通过无图题问题的解决及构图一般方法的获得过程,体会以不变应万变的辩证思想在问题解决中的应用.

  二、教学设计及实践

  (一)推陈迎新 感知不变

  新课伊始,教师给出两个无图题要求学生解答.

  练习1 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设点P(1,t)在反比例函数的图象上,过点P作直线l与x轴平行,点Q在直线l上,满足QP=OP,若反比例函数的图象经过点Q,则k=_________.

  练习2 在菱形ABCD中,∠A=30°,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE,则∠EBC的度数为 .

  在学生的解答过程中,教师让两名学生分别把求解的简要过程写在黑板上指定的位置(两名学生无一例外地都画了草图,如图1、图2).待绝大多数学生完成解答后,教师追问.

  问题1 你是怎么确定线段PQ中Q点的位置的?

  生1:(对着所画图1)因为点Q在直线l上,并且QP=OP=,于是,,这样就可以求出k的值了.

  问题2 △BDE中E点的位置你是怎样确定的?等腰三角形BDE中,什么量是确定的?

  生2:因为△BDE中BD位置是确定的,所以一个E在BD左边,另一个在右边,等腰三角形BDE中顶角∠BED=120°,这是已知的.

  问题3 以后碰到类似的无图题,我们该怎么办?

  学生:(异口同声,很自信)先画图!

  设计意图:教师直接给出学生能独立解决的两个无图题,问题1、问题2的设置意在引导学生变换视角,从理性角度分析“为什么会想到这样构图的”,引起对问题解决中思维方式的反思,起到了先行组织者作用.对问题3的思考,学生都停留在“先画图”的层面上,这样的回答尽在教师的掌握之中,此时教师也并不急于引导学生分析归纳一般方法.

  (二)对比归纳 理解不变

  基于学生已有学习经验,又能通过变换视角发现更一般规律的设计,往往更能激发学生的学习兴趣、求知欲,从而提高课堂教学的有效性.有了以上铺垫,教师给出练习3.

  练习3 在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,CD=AE.若AD=12,AB=20,求tan∠ECD的值.

  在教师“有图吗,怎么办”的引导下,多数学生都能很快完成其中一种情况的构图及解答.学生代表在黑板上画出符合条件的两图形后(如图3、图4),教师追问完成下列问题.

  问题4 你是怎么想到符合条件的图形有两个的?

  生3:题目中没说三角形的形状,所以应该一个是锐角三角形,另一个是钝角的.

  此时,教师并没有在锐角三角形、钝角三角形上和学生进行深入讨论.

  问题5 对比图1、图2,你能发现其中都有哪些不变的图形或数量关系?

  生4:AD,AB的长度是不变的.

  生5:(大声地)△ABD的形状和大小都不变的.

  问题6 如果我们先画出这个不变的△ABD,那么在△ABC中的点C的位置在哪里?(稍做停顿)在△ABD哪条边所在的直线上?

  生2:在BD直线上,因为AD为△ABC的高线,所以C, D, B在一条直线上.又因为CD=AE=10,所以左边一个右边一个.

  此时,教师自言自语“原来这两个图可以合二为一”,并用圆规将图3改为图5.

  问题7 生5说得好,练习3中△ABD的形状大小不变.请大家回忆一下,刚才生2说练习2中△BDE的什么是不变?练习1中呢?

  学生:(补充回答)练习2的△BDE中BD位置不变,练习1中点P位置不变.

  问题8 由此可知,解决无图题中画图的关键是什么?

  学生:(七嘴八舌地)找到所作图形中不变的图形,然后根据题目所给的数量关系就可以画出来了.

  设计意图:教师的“有图吗,怎么办”两问看似多此一举,其实突出“无图变有图”之意明显,正所谓“脑中无图学了糊涂,脑中有图学了清楚”.问题4的设置意在促使学生回顾问题解决中的思考过程.问题5、问题6是通过对比两图形找到它们之间的区别和联系,为变换视角寻求解决问题的一般途径做好铺垫.问题7、问题8意在让学生经历反思归纳的过程,突出解决无图题的关键在于构图,而“构图”的关键在于寻找图中不变的图形和不变的数量关系.

  (三)拓展升华 强化不变

  养兵千日用兵一时,归纳总结得到“构图”的一般方法后,教师给出了有一定綜合背景的练习,以期促使学生进一步巩固理解所学新知.

  练习4 点A,B,C都在半径为的圆上,直线AD⊥直线BC,垂足为D,直线BE⊥直线AC,垂足为E,直线AD与BE相交于点H,若,求∠ABC所对的弧长.

  几分钟的独立思考后,见学生脸带难堪,教师引导学生分析题意.得到本题的实质就是求∠ABC的度数后,正要组织学生画图分析.生2举手了,教师打住自己思路,示意生2发言.


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